学习量子力学和广义相对论需要哪些数学基础？

量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。广义相对论是描写物质间引力相互作用的理论，它预言了引力波的存在，现已被直接观测所证实，此外,它还是现代宇宙学的膨胀宇宙模型的理论基础。量子力学可分为6个部分：薛定谔方程与波函数，势阱束缚态与势垒散射态，厄米算符与力学量，轨道与自旋角动量，氢原子与原子光谱，微扰论。

各部分需要的必备数学知识如下（括号中的不必备但能让理解更方便）：

薛定额方程：波动光学，常微分方程；

势场：常微分方程，（数理方法）；

算符：线性代数；

角动量：线性代数；

氢原子：数理方法，（高中化学）；

微扰论：高等数学。广义相对论所需要的数学知识如下：基础数学分析，线性代数，空间解析几何 ，微分几何，流形学，黎曼几何，张量分析，微分拓扑学

除了初等数学、微积分、复分析等以外，还需要熟练掌握与电动力学相关的矢量场与标量场的操作基本功。摘要如下。以下分享一些最重要的。

理论简介：

光电动力学的超对称原理，主要是指电荷参量(E,D,H,B)与光子参量(m₀,r₀,λ,f)之间的超对称关系，进而可以把电动力学方程，变成以光子为计算单元的量子力学方程。

理论依托：

三大实验定律，①库仑电荷作用力定律、②安培电流磁效应定律、③法拉第电磁感应定律，

1.1 矢量乘法

两个矢量A与B在正交轴的分矢量是(A₁A₂A₃)与(B₁B₂B₃)，记作：

A=A₁ε₁+A₂ε₂+A₃ε₃=ΣAiεi (i=1~3)

B=B₁ε₁+B₂ε₂+B₃ε₃=ΣBiεi (i=1~3)......(1.1-1)

式中，εi是基矢。基矢下标(1,2,3)代表直角坐标(x,y,z)或球面坐标(r,θ,φ)。

矢量乘法包括：点乘、叉乘、张量积。

1.1.1 点乘或标量积→标量

A·B=ABcosθ......(1.1-2)

AB叫标量积或模之积，θ叫转角或幅角。

交换律：A·B=B·A......(1.1-3)

结合律：mA·nB=mnAB......(1.1-4)

分配律：A·(B+C)=A·B+A·C......(1.1-5)

Rt系中：A·B=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃......(1.1-6)

1.1.2 叉乘或矢量积→矢量

A×B=ABsinθn......(1.1-7)

n是从A转向B且按右手螺旋前进的单位矢量。

互反律：A×B=-B×A......(1.1-8)

分配律：A×(B+C)=A×B+A×C......(1.1-9)

Rt系中：A×B=△₁ε₁+△₂ε₂+△₃ε₃......(1.1-10)

其中：

△₁=A₂B₃-A₃B₂, △₂=A₃B₁-A₁B₃, △₃=A₁B₂-A₂B₁

例1. 点差乘=标量

A·(B×C)=C·(A×B)=B·(C×A)......(1.1-11)

按循环次序轮换，三矢量有轮换对称性。

例2. 三叉乘=矢量

A×B×C=B(A·C)-C(A·B)......(1.1-12)

1.1.3 矢量的张量积=度规张量积

又叫并矢，即两矢量A,B并列,中间无点叉。

τ=AB=ΣAiBjεiεj......(1.1-13)

详见张量简介。

1.2 标量场的梯度=矢量

物理参量的空间分布叫场。标量场，如温度场、能量场、电势场。矢量场，如电场强度之E场、磁感应强度之B场。

温度场描述空间各点温度，T(xyz)是温度场函数，若从某点出发经过dl之后，有

dT=əT/əxdx+əT/əydy+əT/əzdz......(1.2-1)

∵ dl=dxεx +dyεy+dzεz，ε是单位矢量

∴ dT=(əT/əxεx+əT/əyεy+əT/əzεz)·dl

即：dT=(▽T)·dl=|▽T||dl|cosθ......(1.2-2)

式中▽T=əT/əxεx+əT/əyεy+əT/əzεz，叫温度场T(xyz)的梯度。

当dl沿▽T方向径向运动时θ=0，dT最大。▽T值，就是场T(xyx)在该点的最大变化率。最大变化率的方向就是▽T的方向。

梯度▽是带单位矢量的微分算符，只能对右方函数有意义。▽既是矢量又是算符。

写成：▽=ə/əxεx+ə/əyεy+ə/əzεz

或：▽=εxə/əx+εyə/əy+εzə/əz...(1.2-3)

1.3 矢量场的(高斯)散度定理

场F(xyz)通过曲面的通量=场对各点P(xyz)面元dS的积分：

开曲面的场通量：Φ=ʃʃ F·dS......(1.3-1)

闭曲面的场通量：Φ=ʃʃ₀F·dS......(1.3-2)

1.3.1 单位空间通量极限——散度(标量)

▽·F=ʃʃ₀F·dS/△V(→0)......(1.3-3)

若▽·F>0，叫有源场；

若▽·F=0，叫无源场；

若▽·F<0，叫漏或汇。

在Rt坐标系中的散度：

▽·F=əFx/əx+əFy/əy+əFz/əz...(1.3-4)

1.3.2 高斯散度定理

由(1.3-3)的散度定义，可以得到：

Φ=ʃʃ₀F·dS=ʃʃʃ▽·FdV......(1.3-5)

表明：矢量场F在闭曲面S的通量=内空间V内散度▽·F的体积分，即：面通↹体通。

1.4 矢量场的旋度

1.4.1 矢量场的环流量

F(xyz)走的闭曲线积分叫该场的环流量，即：

Γ=ʃ₀F·dl=ʃ₀Fxdx+Fydy+Fzdz......(1.4-1)

旋度，是单位面积环流量的极限，即：

▽×Fₙ=ʃ₀F·dl/△S(→0)......(1.4-2)

其▽×Fₙ是场F法向最大涡旋量，n=正法向。

若▽·F≠0，叫有旋场；

若▽·F=0，叫无旋场。

在Rt坐标系中的旋度：

▽×F=(əFz/əy-əFy/əz)εx+(əFx/əz-əFz/əx)εy+(əFy/əx-əFx/əy)εz......(1.4-3)

1.4.2斯托克斯旋度定理

按旋度定义(1.4-2)，可以得到：

ʃ₀F·dl=ʃʃ▽×F·dS.....(1.4-4)

场环流的线积分=场旋度▽×F的面积分。

1.5 矢量场的判定条件

1.5.1 两类矢量场

纯源场=无旋场=法向场=纵场，特征：

①旋度为零：▽×A=0......(1.5-1)

②等于另一标量场梯度：A=▽φ......(1.5-2)

纯旋场=无源场=切向场=横场，特征：

①散度为零：▽·A=0......(1.5-3)

②等于另一矢量场旋度：A=▽×F......(1.5-3)

1.5.2 两个恒等式

凡叉乘标量场梯度的必为零，即：

▽×(▽·φ)≡0......(1.5-4)

凡点乘矢量场旋度的必为零，即：

▽·(▽×F)≡0......(1.5-5)

1.5.3 亥姆赫兹定理

①开放中的矢量场，要考虑散度与旋度，

②封闭中的矢量场，还考虑边界的法向分量。

1.6 算符对函数的运算

1.6.1 微分算符▽作用于三种(场)函数：

①标量场φ(xyz)梯度：▽φ

②矢量场F(xyx)散度：▽·F

③矢量场F(xyz)旋度：▽×F

1.6.2 ▽的定义，在直角坐标系中，

▽=ə/əxεx+ə/əyεy+ə/əzεz，或

▽=εxə/əx+εyə/əy+εzə/əz......(1.6-1)

1.6.3 ▽的两个性质：

①矢量性：使右方函数变成矢量。例如▽·F是F的散度，F·▽因右方无函数故为非矢量。

②微分性：三维偏导数的代号。

1.6.4 ▽的符号读法

①▽=梯/nabla/del=哈符，

②△=▽▽=▽²=梯梯/delsquare=拉符

△=(ə/əxεx+ə/əyεy+ə/əzεz)(ə/əxεx+ə/əyεy+ə/əzεz)=ə²/əx²+ə²/əy²+ə²/əz²

③()()=靠，()·()=点，()×()=叉，AB=并

∵靠的cosθ=1，∴靠≤点。

1.6.5 ▽的运算规则

①梯靠→标靠标：▽(αβ)=α▽β+β▽α

②梯点→标靠矢：▽·(αA)=▽α·A+α▽·A

③梯叉→标靠矢：▽×(αA)=▽α×A+α▽×A

④梯点→矢叉矢：▽·(A×B)=

=(▽×A)·B-A·(▽×B)

⑤梯叉→矢叉矢：▽×(A×B)=

=[(α·▽)B+(β·▽)]-[(β·▽)A+(α·▽)B]

⑥梯靠→矢点矢：▽(A·B)=

=[A×(▽×B)+(A·▽)B]+[B×(▽×A)+(B·▽)A]

⑦梯点→梯靠标：▽·(▽α)=▽²α

⑧梯叉→梯叉矢：▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽²A

1.6.6 ▽作用于复函数

①梯点→标复函：▽·α(β)=əα/əβ▽β

②梯点→矢复函：▽·A(β)=▽β·əA/əβ

③梯叉→矢复函：▽×A(β)=▽β×əA/əβ

1.6.7 ▽作用于R函数

矢量：R=r-r'=(x-x')εx+(y-y')εy+(z-z')εz

标量：|R|=√[(x-x')²+(y-y')²+(z-z')²]

梯靠：▽R=R/|R|，

推广1：▽Rⁿ=n|R|ⁿ⁻²R

推广2：▽'R=-R/|R|=-▽R，

推广3：▽·R=3，▽×R=0

例：证明ʃ₀(m×r)·dl=2ʃʃm·dS，其中m为常矢量，变矢量r=xεx+yεy+zεz，ε为基矢。

证明如下：

根据斯托克斯定理：ʃ₀F·dl=ʃʃ▽×F·dS，

取：F=m×r，

得：ʃ₀(m×r)·dl=ʃʃ▽×(m×r)·dS，

根据梯叉矢叉矢：▽×(A×B)=

=[(α·▽)B+(β·▽)]-[(β·▽)A+(α·▽)B]，

代入有：▽×(m×r)=2m

所以有：ʃ₀(m×r)·dl=2ʃʃm·dS。

1.7 张量简介

1.7.1 张量的概念

两个矢量场A(123)与B(123)的坐标矩阵乘积，简称“并矢/并积”读作A并B，写成：

AB=(A₁ε₁+A₂ε₂+A₃ε₃)(B₁ε₁+B₂ε₂+B₃ε₃)

=A₁B₁ε₁ε₁+A₁B₂ε₁ε₂+A₁B₃ε₁ε₃+A₂B₁ε₂ε₁+A₂B₂ε₂ε₂+A₂B₃ε₂ε₃+A₃B₁ε₃ε₁+A₃B₂ε₃ε₂+A₃B₃ε₃ε₃......(1.7-1)

通常：AB≠BA......(1.7-2)

并矢有9个分矢量(Ai靠Bi)，写成行列式：

A₁B₁(=T₁₁) A₁B₂(=T₁₁) A₁B₃(=T₁₁)

A₂B₁(=T₂₁) A₂B₂(=T₂₂) A₂B₃(=T₂₃)

A₃B₁(=T₃₁) A₃B₂(=T₃₂) A₃B₃(=T₃₃)......(1.7-3)

在三维空间中的9分物理量叫二阶张量。并矢是一般二阶张量的测度规范，简称“度规”。

一般二阶张量：T=ΣTijεiεj......(1.7-4)

其中，并矢εiεj，可作为T的9个基矢，T的分量=Tij，标量=0阶张量，矢量=1阶张量。

案例——弹性体应力的张量解释。

受力的弹性体，内部分子有复杂的作用力，相邻之间的相互作用力叫内应力。

▲此例只是虚构，真实应力应从分子结构的电子云所激发的光子分布来探讨。

任取微小四面体，斜面为面元dσ，有一P点通过dσ，相邻dσ面的分子受到互反作用力df。其它三面是dσx,dσy,dσz沿三坐标轴，大小分别为：|dσx|=dσ·εx,|dσy|=dσy·εy,|dσz|=dσz·εz，相应的作用力为：dfx,dfy,dfz。

四面体内物质受力平衡：

df-dfx-dfy-dfz=0......(1.7-5)

令dσx上应力dfx的分量为dfxx,dfxy,dfxz。考虑到dfx的大小与dσx的大小成正比，有：

dfx=dfxxεx+dfxyεy+dfxzεz，即

dfx=dσx(Txxεx+Txyεy+Txzεz)，同理

dfy=dσy(Tyxεx+Tyyεy+Tyzεz)，

dfz=dσz(Tzxεx+Tzyεy+Tzzεz)......(1.7-6)

式中，Txy是沿x轴的单位面积的前方分子对后方分子作用力的y分量，其余类推，有：

df=dfx+dfy+dfz=

dσx(Txxεx+Txyεy+Txzεz)+

dσy(Tyxεx+Tyyεy+Tyzεz)+

dσz(Tzxεx+Tzyεy+Tzzεz)......(1.7-7)

引入T=ΣTijεiεj，并规定：矢量从左点乘T中的第一个单位矢量，即：df=dσ·T......(1.7-8)

这里的T是一个张量，分量是Tij，i下标是应力面的法向，j下标j是应力面的切向。

对沿x轴的应力面而言，Txx是法应力(张力/伸缩力)，Txy,Txz是切应力(剪力/扭转力)。

若Tij的9个分量已知，则对任意方向的dσ对应的df皆可求出，P点的应力就完全清楚了。

习惯上把T或Tij叫应力张量，把切应力叫张量，因为最先是在讨论张力引入的。

1.7.2 张量的性质

①Tij=Tji,叫对称张量/矩阵,有6独分量。

②Tij=-Tji,反对称,对角元素=0,有3独分量。

③I=ε₁ε₁+ε₂ε₂+ε₃ε₃叫单位张量，其分量是：Iij=δij，当i≠j则δij=0，当i=j则δij=1。因此，单位张量·矢量f=f：I·f=f·l=f...(1.7-9)

1.7.3 张量的运算，有度规T=AB

换点基：f·(εiεj)=(f·εi)εj......(1.7-10)

换叉基：f×(εiεj)=(f×εi)εj......(1.7-11)

同阶张：T±D=Σ(Tij±Dij)εiεj......(1.7-12)

标靠张：αT=Σ(αTij)εiεj......(1.7-13)

矢点张：f·T=ΣTf·(εiεj)......(1.7-14)

矢点张：f·T=f·(AB)=(f·A)B......(1.7-15)

张点矢：T·f=(AB)·f=A(B·f)......(1.7-16)

对称点：Tij=Tji，f·T=T·f......(1.7-17)

反对点：Tij=-Tji，f·T=-T·f......(1.7-18)

矢叉张：f×T=ΣTij×(εiεj)......(1.7-19)

矢叉并：f×T=f×(AB)=(f×A)B......(1.7-20)

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学习量子力学与相对论，看你学习的目的。如果只是理解量子力学与相对论的精神，高中数学水平即可。如果想真正理解和推度量子力学与相对论，恐怕要数学博士了。甚至数学教授也不一定完全理解量子力学与相对论，何况量子力学与相对论都有不完备的地方。